collapse
Matematika za 7. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Direktna proporcionalnost, grafik zavisnosti y = kx  (Pročitano 851 puta)

Autor: Matematika | 10.10.2016. u 10:21:20
Direktna proporcionalnost, grafik zavisnosti y = kx.


Direktna proporcionalnost znaci da je zavisnost izmedju dve promenljive velicine x i y takva, da je kolicnik vrednosti ovih promenljivih stalan (y/x = const).

Sta to prakticno znaci?

Ako imamo npr. niz kugli izradjenih od iste vrste metala, takvih da se povecavaju po svojoj velicini (npr. obim prve neka je 10 cm, obim druge 15cm, trece 20cm, itd.), odnos izmedju mase jedne ovakve kugle i njene zapremine bice konstantan, isto kao i odnos mase i zapremine sledece kugle, itd.
Ono sto je ovde interesantno je to da ce svi ovi odnosi imati istu (konstantnu vrednost) koja ce za sve kugle iznositi recimo 0,5.

Ako pokusamo da napravimo grafik ove zavisnosti, tako sto na jednu osu nanesemo zapremine kugli, a na drugu njihove mase, grafik ce biti prava linija:



Ako na x-osu nanesemo zapreminu (V), a na y-osu masu (m), dobicemo pravu liniju kao grafik, a zavisnost izmedju mase i zapremine bice iskazana formulom:

m = 0,5.V   (sto je na grafiku, uopsteno, predstavljeno kao y = k.x)

Naime, direktna proporcionalnost znaci da ako promenimo zapreminu, automatski se menja i masa tog tela i to za iznos neke konstante, u nasem slucaju ta konstanta iznosi 0,5.

Konstanta k = 0,5 naziva se koeficijent (direktne) proporcionalnosti ili proporcionalna konstanta.

Inace, prethodni primer se odnosio na zakon fizike koji glasi:
za sva tela napravljena od istog materijala odnos mase i zapremine je konstantan. U ovom slucaju konstanta se naziva gustinom materijala.



 - Ako je jedna varijabla uvek proizvod druge i konstante, za njih dvoje se kaže da su direktno proporcionalni; x i y su direktno proporcionalni ako je odnos y/x konstantan;

 - Ako je proizvod dve varijable uvek jednak konstanti, za to dvoje se kaze da su inverzno (indirektno) proporcionalni; x i y su inverzno proporcionalni ako je proizvod x.y konstantan (o idirektnoj proporcionalnosti govorimo u sledecoj lekciji).



Grafik zavisnosti y = kx, x pripada skupu realnih brojeva (x \in R)

Kao sto smo to vec videli na prethodnom primeru grafik zavisnosti y = kx je prava koja prolazi kroz koordinatni pocetak:
 - ako je k > 0 tada se grafik nalazi u I i II kvadrantu (sto je slucaj u nasem primeru);
 - ako je k < 0, grafik se nalazi u II i IV kvadrantu.



Crtanje grafika funkcije (zavisnosti) y = kx:

Obzirom na to da prava y = kx uvek prolazi kroz koordinatni pocetak, to znaci da uvek imamo jednu tacku ove prave vec odredjenu - tacku O(0,0);
a ovo znaci da nam je dovoljno da znamo samo jos jednu tacku koja pripada ovoj pravoj da bi mogli da odredimo kako ce prava izgledati, tj. da bi mogli da je nacrtamo u koordinatnom sistemu.

Uvek mozemo uzeti neku proizvoljnu tacku za x i videti koliko ce nam ispasti y (izuzev ako u zadatku ne postoje jos neki dodatni uslovi), a zatim nacrtati grafik kroz tako dobijenu tacku i kroz koordinatni pocetak.



Npr. ako imamo zavisnost oblika y = 2x,


 - znamo da grafik prolazi kroz tacku (0,0) i posto je 2 > 0 (nas koeficijent k je veci od nule), znacemo i to da grafik prolazi kroz I i II kvadrant;

 - odredimo jos jednu tacku: npr. ako uzmemo da je x = 1, tada ce y biti jednako 2, i tako smo dobili dve tacke (0,0) i (1,2) kroz koje grafik prolazi, te mozemo odmah nacrtati grafik zavisnosti (funkcije) y = 2x.