collapse
Matematika za 7. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Razmera duzi, samerljive i nesamerljive duzi, konstruktivna podela duzi u datoj razmeri, proporcionalnost duzi  (Pročitano 1530 puta)

Autor: Matematika | 10.10.2016. u 10:17:42
Razmera duzi, samerljive i nesamerljive duzi, konstruktivna podela duzi u datoj razmeri, proporcionalnost duzi


Ukoliko dve (ili vise) duzi izmerimo istom jedinicom mere, jedan od nacina da izrazimo njihov odnos je da im uporedimo duzine. To poredjenje mozemo izvesti i tako sto podelimo duzinu jedne duzi sa duzinom druge i vidimo u kom se odnosu ove duzine nalaze:

Razmera (odnos) dve duzi je kolicnik mernih brojeva te dve duzi merenih istom jedinicom mere.

Razmeru duzi AB i CD obelezavamo sa: AB/CD ili AB:CD.

 - ista jedinica mere podrazumeva da smo obe duzi merili npr. u milimetrima ili u cm ili u m, itd; bitno je samo da je za obe upotrebljena ista jedinica mere.

Odnos izmedju dve duzi, pored razmere, mozemo opisati i sa vece, manje, jednako (podudarno).



Uzmimo da nam je duz IJ jedinicna duz:

Ako za jedinicu mere odaberemo milimetar, tada ce nam duz IJ imati npr. 7mm, dok ce ostale duzi imati duzine koj su srazmerne ovoj duzi u odgovarajucem odnosu:

 - duz KL sadrzi tri merne jedinice (tri duzi IJ u svojoj duzini), te ce ona biti duzine 3.7mm = 21mm;

 - duz XY sadrzi pet merne jedinice (pet duzi IJ u svojoj duzini), te ce ona biti duzine 5.7mm = 35mm;

Razmera duzi KL i XY ce biti:   \frac{KL}{XY} = \frac{3}{5}   ( KL/XY = 21/35 = 3/5).



Samerljive i nesamerljive duzi:

Duz IJ je zajednicka mera duzi AB i CD ako su pri izboru duzi IJ za jedinicu mere merni brojevi duzina duzi AB i CD prirodni brojevi.

Pod prirodnim brojevima podrazumevamo brojeve: 1, 2, 3,...

Znaci, potrebno je da IJ bude tako odabrano da je AB = n.IJ, a CD = m.IJ, gde su m i n prirodni brojevi.
Ukoliko za dve duzi postoji zajednicka mera, tada je razmera te dve duzi razlomak, odnosno racionalan broj.

Ako je razmera dve duzi racionalan broj (broj koji se moze prikazati u obliku razlomka), kazemo da su te dve duzi samerljive.

Ako je razmera dve duzi iracionalan broj (ne moze se napisati u obliku razlomka), kazemo da su te dve duzi nesamerljive.




Npr. odnos dijagonale kvadrata i njegove stranice je iracionalan broj, tj. ne postoji duz koju bismo mogli da izaberemo za jedinicu mere tako da merni brojevi duzine stranice i dijagonale kvadrata budu prirodni brojevi.



Konstruktivna podela duzi u datoj razmeri m:n, gde su m i n prirodni brojevi (m,n \inN):

Ako zelimo neku duz da podelimo na odredjen broj jednakih delova, primetili smo sledece:
 - ukoliko iz temena date duzi nacrtamo drugu duz (tako da ove dve duzi formiraju ugao) i tu drugu duz podelimo na odgovarajuci broj jednakih odsecaka, povlacenjem paralelnih pravih kroz te tacke (tako da prave seku obe duzi) i na prvoj duzi se dobijaju odsecci jednakih duzina:



Paralelne prave seku oba kraka ugla.
Ako paralelne prave na jednom kraku nekog ugla obrazuju jednake odsecke, tada ce i odsecci na drugom kraku biti medjusobno jednaki.


Zasto bi nam ovo bilo bitno? Zasto jednostavno ne izmerimo lenjirom duz i ne podelimo je?

Zato sto duz nije uvek lako podeliti na jednak broj delova (npr. moglo bi nam se desiti da svaki deo treba da bude duzine 5,678cm);

Zato nam je ova metoda od pomoci, jer pomocnu duz (drugi krak ugla) mozemo podeliti na odsecke proizvoljne velicine, npr. tako da svaki bude po 7cm, a kada kroz te tacke provucemo paralelne prave na nasu duz (pocev od prave kroz krajnju tacku nase duzi i krajnju tacku pomocne duzi), ona ce biti podeljena na delove od kojih ce svaki biti duzine 5,678cm (naravno, pod uslovom da smo vrrrlo precizni).

primer:
Podelimo datu duz AB u razmeri 3:4, tj. odredimo tacku C duzi AB takvu da je: AC:CB = 3:4.

Najpre duz delomo na 7 jednakih delova (3+4=7):
 - konstruisacemo polupravu Ax i na njoj odrediti tacke od X1 do X7, na medjusobno jednakim rastojanjima;
 - zatim povucemo pravu kroz tacke B i X7;
 - zatim vucemo pravu paralelnu ovoj kroz tacku X3 i dobicemo tacku C:





Proporcionalnost duzi:

Ovo mozemo predstaviti i kroz primer pravljenja makete pri izgradnji nekog objekta:
 - maketa je verna slika objekta, ali umanjena; medjutim kada objekat bude zidan, sve njegove mere moraju biti proporcionalne merama makete (npr. odnos visine i sirine svakog dela objekta mora biti isti kao i na maketi), pa kazemo:

Ako su razmere dva para duzi jednake, tada kazemo da je jedan par duzi proporcionalan drugom paru.

Naime ako imamo duzi AB i CD cije su duzine, redom, 21cm i 35cm tada ce njihov odnos biti: AB/CD = 21/35 = 3/5;

Ako, sa druge strane, imamo duzi EF i GH cije su duzine, redom, 18cm i 30cm, njihov odnos ce biti: EF/GH = 18/30 = 3/5;

Za par duzi AB i CD kazemo da je proporcionalan paru dizi EF i GH i pisemo:

                        \frac{AB}{CD} = \frac{EF}{GH}


« Poslednja izmena: 10.10.2016. u 11:18:20 od strane Matematika »