collapse
Matematika za 7. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Realni brojevi, sabiranje i oduzimanje u skupu realnih brojeva, mnozenje i deljenje u skupu realnih brojeva  (Pročitano 298 puta)

Autor: Matematika | 06.10.2016. u 10:50:40
Realni brojevi, sabiranje i oduzimanje u skupu realnih brojeva, mnozenje i deljenje u skupu realnih brojeva


Podsetimo se skupova koje smo do sada definisali:

Skup prirodnih brojeva:   N = {1, 2, 3, ..., n}

Skup celih brojeva:    Z = {-n, ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., +n}

Skup racionalnih brojeva:    Q = {b/a | b \in Z, a \in Z\{0}}

Skup iracionalnih brojeva I (brojevi koji se ne mogu prikazati u obliku razlomka)

Napomenimo da skup iracionalnih brojeva nije prosirenje skupa racionalnih brojeva, vec odvojen skup.



Skup realnih brojeva (R) sadrzi sve racionalne i iracionalne brojeve:

N \subset Z \subset Q \subset R   \wedge   I \subset R    \wedge    R = Q \cup I



Sabiranje i oduzimanje u skupu realnih brojeva; mnozenje i deljenje u skupu realnih brojeva:

Za ma koje elemente a, b, c skupa R vaze sledece osobine:

10   a+b \in R,  a\cdotb \in R
  (kazemo da su operacije sabiranja i mnozenja "zatvorene" u skupu R)

20   a+(b+c) = (a+b)+c  (u skupu R vazi zakon asocijacije za sabiranje)

30   a+b = b+a   (u skupu R vazi komutativni zakon za sabiranje)

40   a\cdot(b\cdotc) = (a\cdotb)\cdotc      (vazi asocijativni zakon za mnozenje)

50   a\cdotb = b\cdota    (vazi komutativni zakon za mnozenje)

60   a\cdot(b+c) = a\cdotb + a\cdotc,  (b+c)\cdota = b\cdota + c\cdota
  (vazi distributivni zakon mnozenja prema sabiranju)

70   1\cdota = a\cdot1 = a   (broj jedan je neutralan pri mnozenju)

80   0+a = a+0 = a  (egzistencija nule i neutralnost nule pri sabiranju)

90   a+ (-a) = (-a) + 0 = 0  (egzistencija suprotnog broja -a za broj a)

100 za svako a \in R\{0} postoji jedinstven broj a-1 (inverzni element elementa a), takav da je:

a \cdot a-1 = a-1 \cdot a = 1 (egzistencija inverznog elementa)

110   za svako a \in R vazi:  a \leqslant a   (relacija je refleksivna)

120   Ako je a \leqslant b i b \leqslant a tada je a = b   (zakon antisimetricnosti relacije \leqslant)

130   Ako je a \leqslant b i b \leqslant c tada je a \leqslant c   (Zakon tranzitivnosti relacije \leqslant)

140   Za svako c \in R, iz a \leqslant b sledi a+c \leqslant b+c   (saglasnost relacije \leqslant prema sabiranju)

150    Ako je 0 \leqslant a i 0 \leqslant b tada je 0 \leqslant ab  (saglasnost relacije \leqslant prema mnozenju)

160    Za sve elemente a,b \in R vazi tvrdjenje:
ili je a \leqslant b ili je b \leqslant a  (zakon uporedivosti)

170   Ako su A i B neprazni podskupovi skupa R i ako je ispunjeno: a \leqslant b, za svako a \in A i svako b \in B, tada postoji c \in R takvo da je, za svako a \in A i za svako b \in B, ispunjeno:  a \leqslant c \leqslant b.