collapse
Matematika za 7. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Kvadrat racionalnog broja, kvadratni koren racionalnog i realnog broja  (Pročitano 585 puta)

Autor: Matematika | 06.10.2016. u 10:48:53
Kvadrat racionalnog broja, kvadratni koren racionalnog i realnog broja


Podsetimo se nekih od skupova sa kojima smo se do sada upoznali:

N = {1, 2, 3,...}  - skup prirodnih brojeva
N0 = {0} \cup N = {0, 1, 2, 3,...}  - skup prirodnih brojeva prosiren nulom
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} - skup celih brojeva
Q = { p/q | p, q \in Z, q \neq 0} - skup racionalnih brojeva.



Kvadrat racionalnog broja a je broj b koji je jednak proizvodu broja a sa samim sobom, sto zapisujemo:

b = a . a = a2

Npr: 4 = 2 . 2 = 22 ili, kako se obicno pise: 22 = 2 . 2 = 4



Kvadrat racionalnog broja a ne moze biti negativan: a2\geqslant 0;
a na kvadrat je uvek vece (ili jednako) od nule;
nula pomnozena nulom daje nulu: 02 = 0.

Npr.: neka je a pozitivan broj, recimo 3, kvadrat broja 3 bice takodje pozitivan broj 9; sa druge strane, i kvadrat negativnog broja -3 bice pozitivan i takodje ce iznositi 9, pa imamo sledecu definiciju:

Kvadrati uzajamno suprotnih racionalnih brojeva a i -a su medjusobno jednaki,
i za svaki racionalan broj vazi:

 a2 = (-a)2 = |a|2



Za nenegativne racionalne brojeve a i b iz jednakosti a2 = b2 sledi jednakost a = b.
(pod nenegativnim brojevima podrazumevamo nulu i pozitivne brojeve).

Za nenegativne racionalne brojeve a i b iz nejednakosti a2 > b2 sledi da je a > b i obrnuto, iz nejednakosti a > b sledi i da je a2 > b2.

Za negativne racionalne brojeve a i b iz nejednakosti a2 > b2 sledi da je a < b i obrnuto, iz nejednakosti a > b sledi i da je a2 < b2.

Pun kvadrat je prirodan broj koji je kvadrat nekog drugog prirodnog broja.



Resavanje jednacine tipa: x2 = a, a \geqslant 0 i kvadratni koren

Ako je kvadrat nekog broja jednak 25, koji je to broj?

Ovaj zadatak resavamo putem jednacine x2 = 25
za ovu jednacinu imamo dva moguca resenja: 5 i -5 jer je 52 = (-5)2 = 25

Postavimo isti zadatak na malo drugaciji nacin:
ako je povrsina nekog kvadrata 25, kolika je njegova stranica?

- opet cemo imati istu pocetnu jednacinu: x2 = 25,
ali ce resenje u ovom slucaju biti samo broj 5, jer stranica kvadrata ne moze biti negativna, tj. njena duzina ne moze biti -5.

Nenegativan broj ciji je kvadrat 25 zvacemo kvadratni koren broja 25,
sto zapisujemo:  \sqrt{25} = 5.

Kvadratni koren (ili samo: koren) nenegativnog broja a je nenegativan broj koji oznacavamo sa  \sqrt{a}, a ciji je kvadrat jednak broju a.

Medjutim, mi ne baratamo samo sa nenegativnim brojevima, vec i sa negativnim, te ce postojati razlika izmedju resenja sledecih zadataka:

 - koji je broj kvadratni koren broja 25?
 - koji su brojevi resenja jednacine x2 = 25?

u prvom slucaju, resenje je samo broj 5;
u drugom slucaju resenja mogu biti i 5 i -5;

zato kazemo:

Resenja jednacine x2 = a, a > 0, su brojevi \sqrt{a} i - \sqrt{a}.

Uocimo ovde jos jednu suptilnu razliku:

kako je sam koren uvek pozitivan broj, bilo bi neispravno pisati da je \sqrt{25} = \pm 5;
umesto toga kao resenja jednacine x2 = 25, javljaju se:

plus \sqrt{25}    i    minus \sqrt{25},     tj. \sqrt{25}  i  - \sqrt{25}.



Sve sto smo do sada napisali odnosilo se na racionalne brojeve (skup Q).
U nastavku cemo pricati o skupu realnih brojeva (skup R), a kako je on unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva, sve receno ce se odnositi i na racionalne i na iracionalne brojeve.




Za sve nenegativne realne brojeve a i b vazi:

  \sqrt{a.b} = \sqrt{a}.\sqrt{b}

Za svaki nenegativan realan broj a i pozitivan realan broj b vazi:

\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}



Konacno, pogledajmo jednakost \sqrt{a^{2}} = |a|

Primetimo da ne vazi: \sqrt{a^{2}} = a,

vec vazi:  \sqrt{a^{2}} = |a|.

Zasto?

Zato sto a moze biti i negativan i pozitivan broj, tako da koren iz a2 moze biti i negativan i pozitivan broj, te zato koristimo apsolutnu vrednost kao resenje.