collapse
Matematika za 6. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Mnozenje celih brojeva (mnozenje u skupu celih brojeva Z)  (Pročitano 431 puta)

Autor: Matematika | 30.09.2016. u 14:26:25
Mnozenje celih brojeva (mnozenje u skupu celih brojeva Z).


Mnozenje celih brojeva je najlakse objasniti pocevsi od operacije sabiranja:

Primer: Prodavnica je tokom prva tri meseca svoga rada svakog meseca ostvarila zaradu od po 200 000 dinara. Kolika je bila ukupna zarada te prodavnice na kraju treceg meseca?

Zadatak mozemo resiti putem sabiranja ili putem mnozenja:

sabiranjem:  200 000 + 200 000 + 200 000 = 600 000
mnozenjem: 3 . 200 000 = 600 000

 - vidimo da su resenja dobijena sabiranjem i mnozenjem ista, ali je razlika u tome sto resenje dobijeno mnozenjem ima kraci zapis;
 - naime, ako bismo imali mnogo veci broj istih cifara koje treba sabrati mnogo bi nam bilo lakse da to napisemo u obliku mnozenja nego sabiranja:

da se radi npr. o 12 meseci, a ne o 3 meseca, tada bi kod sabiranja cifru 200 000 morali da napisemo 12 puta, dok bi je kod mnozenja pisali samo jedanput: 12 . 200 000 = 2 400 000.

Da je prodavnica tokom prva tri meseca pravila dug od po 200 000 dinara, pisali bi:

sabiranjem:  (-200 000) + (-200 000) + (-200 000) = -600 000
mnozenjem: 3 . (-200 000) = -600 000

 - znaci, princip je isti i za pozitivne i za negativne brojeve.



Navedimo ukratko neke karakteristike racunskih operacija u skupu Z = {-n, ... , - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ..., +n}, vezanih za operaciju mnozenja (podrazumeva se da navedene karakteristike vaze za bilo koji broj skupa Z):

10    a . 0 = 0 . a = 0  (kao sto vec znamo, mnozenje bilo kog broja nulom daje kao rezultat nulu)

20   1 \cdot a = a \cdot 1 = a   (broj jedan je neutralan pri mnozenju):

 - znaci da bilo koji broj pomnozen jedinicom (i obrnuto) daje isti taj broj:

1 . 2 = 2      3 . 1 = 3      45 . 1 = 45   -12 . 1 = -12    1 . (-8) = -8, itd.

30   a \cdot b = b \cdot a    (vazi komutativni zakon za mnozenje):

 - ovo znaci da je za bilo koja dva cela broja ispunjeno da je proizvod prvog i drugog broja jednak proizvodu drugog i prvog:

2 . 3 = 3 . 2   -5 . 7= 7 . (-5)   -12 . (-3) = -3 . (-12),  itd.

40   a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c      (vazi asocijativni zakon za mnozenje):

-5 . (2 . 3) = -5 . 6 = -30
(-5 . 2) . 3 = -10 . 3 = -30

 - ovo je samo jedan primer, ali koje god brojeve da uzmemo, rezultat ce biti isti, tj. vazice asocijativni zakon.

50   a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c,  (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a    (vazi distributivni zakon mnozenja prema sabiranju):

(-4) . (-2 + 9) = (-4) . 7 = -28
(-4) . (-2) + (-4) . 9 = 8 +(-36) = 8 - 36 = -28



Evo jos nekih pravila koja vaze u skupu Z:

60 Proizvod pozitivnog i negativnog celog broja jeste negativan ceo broj cija je apsolutna vrednost jednaka proizvodu apsolutnih vrednosti tih celih brojeva (cinilaca).

70 Proizvod broja -1 i bilo kog celog broja a, jeste broj suprotan broju a:

  (-1) . a = a . (-1) = -a

80 Proizvod dva negativna cela broja je pozitivan ceo broj jednak proizvodu apsolutnih vrednosti tih celih brojeva (cinilaca)

90  Za sve brojeve skupa Z vazi:

  - (a + b) = - a - b  i  - (a - b) = - a + b



Mnozenje i poredak celih brojeva:

1.) Neka je c pozitivan prirodan broj i neka su a i b proizvoljni celi brojevi.
Tada iz a < b sledi a . c < b . c.

2.) Neka su a i b proizvoljni celi brojevi. Tada iz a < b sledi -a > -b.

3.) Neka je c negativan ceo broj i neka su a i b proizvoljni celi brojevi.
Tada iz a < b sledi a . c > b . c.