collapse
Matematika za 6. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Jednacine sa sabiranjem i oduzimanjem, mnozenjem i deljenjem, u skupu celih brojeva Z  (Pročitano 609 puta)

Autor: Matematika | 30.09.2016. u 14:24:54
Jednacine sa sabiranjem i oduzimanjem, mnozenjem i deljenjem, u skupu celih brojeva Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.


Ponovimo prvo ono sto smo naucili u 5-tom razredu, jer sve sto vazi u skupu prirodnih brojeva N = {1, 2, 3, ...} i skupu N0 = {0} \cup N, vazice i u skupu celih brojeva Z, pri cemu cemo na kraju teksta ovu oblast jos malo prosiriti.



Jednacine, sabiranje i oduzimanje, mnozenje i deljenje u skupu prirodnih brojeva N i skupu N0:

Navodimo prvo neka osnovna objasnjenja o jednacinama, par primera i na kraju pravila po kojima se jednacine rade:

Jednacine kako im samo ime kaze, bave se nekakvim jednakostima, izjednacavanjem odredjenih velicina.

Posmatrajmo primer iz zivota:

u prodavnicu je prvog dana stiglo 45kg jabuka. Ako pretpostavimo da ni jedna jabuka nije prodata i ako na kraju drugog dana imamo ukupno 80kg jabuka, treba da izracunamo koliko je jabuka stiglo u prodavnicu drugog dana?

Ovo racunamo pomocu jednacine (nepoznatu vrednost obelezavamo sa x):   

45 + x = 80
x = 80 - 45
x = 35

 - znaci, drugog dana je stiglo 35kg jabuka, jer je 45kg + 35kg = 80kg.



Obicno nepoznate vrednosti u jednacinama obelezavamo sa x, y, z, ...



Podsetimo se i da pri oduzimanju, cifru od koje oduzimamo nazivamo umanjenik, cifru koju oduzimamo umanjilac, a rezultat oduzimanja zovemo - razlika.

U nasem primeru:

 80 je umanjenik;
 45 je umanjilac (onaj koji umanjuje);
 35 je razlika.



Izvedimo neka opsta pravila za jednacine sa sabiranjem i oduzimanjem:

1. - kada imamo nepoznat sabirak x, jednacinu resavamo:

 postavka:  x + b = c
 resenje:  x = c - b

2. - kada imamo nepoznat umanjenik x, jednacinu resavamo:

 postavka:  x - b = c
 resenje:  x = c + b

3. - kada imamo nepoznat umanjilac x, jednacinu resavamo:

 postavka:  b - x = c
 resenje:  x = b - c



Jednacine sa mnozenjem i deljenjem:

Uzmimo sledeci primer:

Kupac je kupio 5kg jabuka i iz prethodnog primera i platio ih 250 din.
Koliko kosta 1kg jabuka?

Ovo racunamo tako sto podelimo ukupan placeni iznos novca sa kolicinom jabuka:

 - ako sa x oznacimo nepoznatu cenu jednog kg jabuka imamo:

5 puta x = 250, pa sledi:   x = 250 : 5      x = 50

 - znaci, 1kg jabuka kosta 50 dinara.

Kada pomnozimo dva (ili vise) broja dobijeni rezultat zove se proizvod.
Broj koji delimo zove se deljenik, broj kojim delimo zove se delilac, a konacan rezultat zove se kolicnik.

U nasem primeru:

5 puta 50 = 250,  250 je proizvod poznatih cinilaca, a kod

 250 : 5 = 50

250 je deljenik, 5 je delilac, 50 je kolicnik.



Izvedimo neka opsta pravila za jednacine sa mnozenjem i deljenjem:

1. - kada imamo nepoznat cinilac x, jednacinu resavamo:

 postavka:  a . x = c,   a \neq 0
 resenje:  x = c : a,   a \neq 0

2. - kada imamo nepoznat deljenik x, jednacinu resavamo:

 postavka:  x : a = c,   a \neq
 resenje:  x = c . a,   a \neq 0

3. - kada imamo nepoznat delilac x, jednacinu resavamo:

 postavka:  a : x = c,   a \neq 0, c \neq 0
 resenje:  x = a : c,   a \neq 0, c \neq 0



Jednacine sa sabiranjem i oduzimanjem, mnozenjem i deljenjem, u skupu celih brojeva Z:

Pravilo o dodavanju:
 - neka a, b, c pripadaju skupu Z;
 - ako je a = b , tada je a + c = b + c

Pravilo o oduzimanju:
- neka a, b, c pripadaju skupu Z;
 - ako je a = b , tada je a - c = b - c

Pravilo o dodavanju vazi i u skupu N, dok pravilo o oduzimanju vazi sa ogranjcenjem, jer u skupu N nema negativnih brojeva.

U skupu Z ovih ogranicenja nema.



Ako isti ceo broj dodamo obema stranama jednacine (u skladu sa pravilom o dodavanju), ili od njih oduzmemo isti ceo broj (u skladu sa pravilom o oduzimanju), dobijamo novu jednacinu koja ima ista resenja u skupu Z kao polazna jednacina.
 
Od kakve nam je ovo koristi?

Pogledajmo primer: resimo jednacinu:   

x + 9 = 3

 - oduzmimo od obe strane 9:

x + 9 = 3/ -9
x + 9 - 9 = 3 - 9
x  = -6

 - provera: -6 + 9 = 3

Znaci princip resavanja je da se "uklone" svi brojevi uz x, tako da x ostaje sam sa jedne strane jednakosti, a rezultat sa druge strane:

 x + a = b,  sledi:  x + a - a = b - a,   sledi:   x = b - a

Na isto nacin, vazi i sledece:

x - a = b  sledi   x - a + a = b + a   sledi   x = b + a



Napomena: kada naidjemo na zbir dva suprotna broja, npr. 2 i -2, kazemo da se ti brojevi potiru; ne kazemo da se skracuju, jer je skracivanje vezano za mnozenje i deljenje.



Kada su u pitanju mnozenje i deljenje kod jednacina u skupu Z, princip je potpuno isti kao i u skupu N, s' tom razlikom sto u skupu Z mozemo kao rezultat imati i negativan broj, sto nismo mogli u skupu N.