collapse
Matematika za 6. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Suprotni brojevi i apsolutna vrednost racionalnog broja, uporedjivanje racionalnih brojeva  (Pročitano 274 puta)

Autor: Matematika | 30.09.2016. u 11:02:07
Suprotni brojevi i apsolutna vrednost racionalnog broja, uporedjivanje racionalnih brojeva.


Kao sto smo vec ranije napomenuli, obzirom da je skup celih brojeva Z podskup skupa racionalnih brojeva Q, sva pravila koja vaze za cele brojeve vazice i za racionalne.

Suprotni brojevi u skupu racionalnih brojeva: Q = { p/q | p, q \in Z, q \neq 0},
su oni brojevi kojima su na brojevnoj pravoj pridruzene tacke sa razlicitih strana koordinatnog pocetka, a na jednakom rastojanju od koordinatnog pocetka:



 - znaci ako imamo bilo koji racionalan broj p/q, njemu suprotan ce biti: - (p/q) i obrnuto;

Npr. suprotni su:

1/2 i -(1/2)  (drugi broj pisemo obicno bez zagrade: -1/2);

-5/6 i 5/6;  4/3 i -4/3, itd.



 - zbir suprotnih brojeva uvek jednak nuli;

 - posebno, suprotan broj broju nula je sama nula;

 - suprotan broj od suprotnog broja racionalnog broja p/q je broj p/q, tj. -(-p/q) = p/q.



Apsolutna vrednost broja:



Ako pogledamo prethodnu sliku videcemo da je rastojanje broja 1/2 od koordinatnog pocetka jednako rastojanju broja -1/2 od koordinatnog pocetka, bez obzira na to sto je 1/2 pozitivan broj, a -1/2 negativan broj.

Kod apsolutne vrednosti upravo nas to i zanima: rastojanje, a ne znak.



Znaci, ako tacku A brojevne prave dodelimo racionalnom broju p/q, pri cemu je p/q \neq 0 i q \neq, tada je apsolutna vrednost broja p/q, u oznaci |p/q|, jednaka duzini duzi OA.
Takodje, ako tacku B dodelimo celom broju -(p/q), pri cemu je -(p/q) \neq 0 i q \neq 0, tada je apsolutna vrednost broja -(p/q), u oznaci |-p/q|, jednaka duzini duzi OB.
Oznaku |p/q| citamo kao "apsolutno p/q". Posebno, |0| = 0.



Odavde sledi i da je: |p/q| = |-p/q| = p/q = duzini duzi OA = duzini duzi OB.

Zakljucujemo (pri cemu svuda podrazumevamo da je q \neq 0):

 - Apsolutna vrednost racionalnog broja ne moze biti negativna, tj. za svako p/q koje pripada skupu Q vazi: |p/q| \geqslant 0.
 - Apsolutne vrednosti suprotnih racionalnih brojeva su jednake, tj. za svako p/q koje pripada skupu Q, vazi: |p/q| = |-p/q| = |p|/|q|.
 - Ako je p/q \geqslant 0, tada je broj |p/q| jednak broju p/q.
 - Ako je p/q \leqslant 0, tada je broj |p/q| jednak broju -(p/q).



Kao sto smo vrsili prosirivanje i skracivanje razlomaka u petom razredu, tako vrsimo i prosirivanje i skracivanje kod racionalnih brojeva:

Za svaki racionalan broj p/q i svaki ceo broj k, k \neq 0, vazi: p/q =( p.k)/(q.k)

Ako je ceo broj k zajednicki delilac brojeva p i q, q\neq 0, tada vazi: p/q =(p:k)/(q:k)

Primeri:

3/4 = (3.2)/(4.2) = 6/8

5/25 = (5:5)/(25:5) = 1/5

6/18 = (6:2)/(18:2) = 3/9
6/18 = (6:3)/(18:3) = 2/6
6/18 = (6:6)/(18:6) = 1/3



Uporedjivanje racionalnih brojeva:

 - Svaki pozitivan racionalan broj veci je od svakog negativnog racionalnog broja;
 - Nula je veca od svakog negativnog racionalnog broja;
 - Od dva razlicita negativna racionalna broja veci je onaj cija je apsolutna vrednost manja;

Prva dva tvrdjenja su ocigledno tacna: pregledom brojevne prave odmah vidimo da su svi pozitivni brojevi veci od negativnih, a i da je nula veca od svakog negativnog broja.

Trece tvrdjenje je malo teze proveriti, jer nije ocigledno koji bi od razlomaka -(4/5) i -(3/2) bio veci, bez obzira na apsolutnu vrednost, te zato uvodimo dva pravila iz oblasti razlomaka (odnose se na pozitivne brojeve):

Pravilo 1: Ako dva razlomka (racionalna broja) imaju jednake imenioce veci je onaj koji ima veci brojilac;

Pravilo 2: Ako dva razlomka (racionalna broja) imaju jednake brojioce veci je onaj koji ima manji imenilac;

kao i pravilo vezano za sve racionalne brojeve (i pozitivne i negativne):

Pravilo 3: Neka su a i b celi brojevi i neka je n prirodan broj, tada iz a < b sledi a/n < b/n.

Najcesce, u praksi, svodimo negativne razlomke (racionalne brojeve) na jednake imenice, pa ih uporedjujemo po apsolutnoj vrednosti:

1.) Uporedimo prvo dva pozitivna racionalna broja, sa razlicitm imeniocima:  4/5   i   3/2

 - svedimo ih prvo na zajednicki imenilac:   
NZS za 5 i 2 je 10, te sledi  (4.2)/(5.2) = 8/10   i  (3.5)/(2.5) = 15/10
 - sada ih uporedimo:
8/10  i  15/10, prema Pravilu 1, sledi da je veci 15/10.

2.) Uporedimo njima suprotne brojeve:   -(4/5) i -(3/2)

 - svedimo ih prvo na zajednicki imenilac:   
NZS za 5 i 2 je 10, te sledi  -((4.2)/(5.2)) = -(8/10)   i  ((3.5)/(2.5)) = -(15/10)

- sada ih uporedimo:
-(8/10)  i  -(15/10), prema Pravilu 1 i prema tvrdjenju: Od dva razlicita negativna racionalna broja veci je onaj cija je apsolutna vrednost manja, sledi:

|-(8/10)| = 8/10   i   |-(15/10)| = 15/10;  sledi:  8/10 < 15/10  (Pravilo 1)

 - konacno imamo da je, prema pomenutom tvrdjenju:

 -(8/10) > -(15/10), odnosno:  -(4/5) > -(3/2).