collapse
Matematika za 6. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Sabiranje i oduzimanje racionalnih brojeva  (Pročitano 303 puta)

Autor: Matematika | 30.09.2016. u 11:01:19
Sabiranje i oduzimanje racionalnih brojeva



Obzirom da je skup celih brojeva Z podskup skupa racionalnih brojeva Q, sva pravila koja vaze u Z vazice i u Q, pa pogledajmo pregled i primere tih pravila:

Sabiranje i oduzimanje u skupu racionalnih brojeva Q:

 - Zbir dva pozitivna racionalna broja je pozitivan racionalan broj;
 - Zbir dva negativna racionalna broja je negativan racionalan broj;
 - U oba slucaja apsolutna vrednost zbira jednaka je zbiru apsolutnih vrednosti sabiraka (ali samo kada su oba sabirka pozitivna ili oba negativna! - u slucaju kada je jedan pozitivan, a drugi negativan, ovo tvrdjenje nije tacno).

Primeri:

  23/25 + 67/25 = 90/25

 -(23/25) - (67/25) = -90/25

 |23/25 + 67/25| = |90/25| = 90/25      |23/25 + 67/25| = |23/25| + |67/25| = 23/25 + 67/25 = 90/25

 |-(23/25) - (67/25)| = |-90/25| = 90/25     |-(23/25) - (67/25)| = |-(23/25)| + |-(67/25)| = 23/25 + 67/25 = 90/25

U realnoj matematici, ovo se poslednje pravilo mnogo vise koristi u sledecim slucajevima:

-5/10 + (-6/10) = - (5/10+6/10) = -11/10
-11/10 + (-15/10) = - (11/10+15/10) = -27/10
itd.



Broj nula je neutralan element za sabiranje u skupu Q.

7/10 + 0 = 0 + 7/10 = 7/10      -9/10 + 0 = 0 - 9/10 = -9/10      itd.



Zbir suprotnih racionalnih brojeva uvek je nula.
Posebno, nula je sama sebi suprotan element.

5/2 + (-5/2) = 5/2 - 5/2 = 0
(-2/7) + 2/7 = 0
0 + 0 = 0



Zbir pozitivnog i negativnog racionalnog broja, koji nisu medjusobno suprotni, istog je znaka kao sabirak cija je apsolutna vrednost veca.

Primeri:

-17/2 + 23/2 = ?
po apsolutnoj vrednosti: |-17/2| = 17/2, |23/2| = 23/2 sledi: 23/2 > 17/2, te znaci da je zbir ova dva broja pozitivan, jer je po apsolutnoj vrednosti, pozitivan broj veci od negativnog:
-17/2 + 23/2 = 6/2

17/2 + (-23/2) = ?
po apsolutnoj vrednosti: |17/2| = 17/2, |-23/2| = 23/2 sledi: 23/2 > 17/2, te znaci da je zbir ova dva broja negativan, jer je, po apsolutnoj vrednosti, negativan broj veci od pozitivnog:
17/2 + (-23/2) = -6/2



Sabiranje racionalnih brojeva je komutativno,
sto znaci da za svaki broj a i b koji pripadaju skupu Q vazi: a + b = b + a.

Sabiranje racionalnih brojeva je asocijativno,
sto znaci da za svaki broj a, b i c koji pripadaju skupu Q vazi: (a + b) + c = a + (b + c).

 - asocijativnost znaci da, kod sabiranja racionalnih brojeva, zbir tri racionalna broja mozemo pisati bez zagrada, jer ce rezultat biti isti:

Primer 1: 

(5/7 + 2/7) + 3/7 = 5/7 + (2/7 + 3/7) = 5/7 + 2/7 + 3/7 = 10/7

Primer 2:
 
 (5/7 + 2/7) + (-3/7)  = 7/7 + (-3/7) = 4/7

 5/7 + (2/7 + (-3/7)) = 5/7 + (-1/7) = 4/7

 5/7 + 2/7 + (-3/7) = 4/7

pa je ocigledno: (5/7 + 2/7) + (-3/7) = 5/7 + (2/7 + (-3/7)) = 5/7 + 2/7 + (-3/7) = 4/7



Oduzimanje racionalnih brojeva:

Oduzimanje racionalnih brojeva se svodi na sabiranje pozitivnog i negativnog broja, tj. isti rezultat dobijamo u oba sledeca slucaja:

17/2 + (-23/2) = -6/2  i  17/2 - 23/2 = -6/2

Ali treba voditi racuna o redosledu i formulaciji, jer nisu iste osobenosti sabiranja i oduzimanja racionalnih brojeva:

 - oduzimanje racionalnih brojeva nije komutativno:
5/10 - 6/10 = -1/10, ali 6/10 - 5/10 = 1/10, te uopsteno posmatrano, nije isto a - b sto i b - a.

 - ovo ne treba mesati sa sabiranjem pozitivnog i negativnog broja:
5/10 + (-6/10) = 5/10 - 6/10 = -1/10, ali kod sabiranja cemo imati sledece: (-6/10) + 5/10 = -1/10

 - oduzimanje racionalnih brojeva nije ni asocijativno:
(14/10 - 5/10) - 4/10 \neq 14/10 - (5/10 - 4/10), jer je u prvom slucaju resenje 5/10, a u drugom 13/10.

 - ovo opet ne treba mesati sa sabiranjem pozitivnih i negativnih brojeva:
(14/10 - 5/10) + (-4/10) = 14/10 + ((-5/10) + -(4/10)) = 14/10 + (-9/10) = 5/10



Za sve racionalne brojeve a i b vazi: |a - b| = |b - a|