collapse
Matematika za 6. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Mnozenje racionalnih brojeva (mnozenje u skupu racionalnih brojeva Q)  (Pročitano 243 puta)

Autor: Matematika | 30.09.2016. u 11:00:28
Mnozenje racionalnih brojeva (mnozenje u skupu racionalnih brojeva Q).


Osnovni pojam mnozenja brojeva smo uveli u temama: Mnozenje prirodnih brojeva i Mnozenje celih brojeva.

Primeri:

skup celih brojeva: 2 . 7 = 14

skup racionalnih brojeva: 2/10 . 7/10 = (2 . 7)/(10 . 10) = 14/100
skup racionalnih brojeva: 2/5 . 7/10 = (2 . 7)/(5 . 10) = 14/50
itd.


Navedimo ukratko neke karakteristike racunskih operacija u skupu Q = { p/q | p, q \in Z, q \neq 0}, vezanih za operaciju mnozenja (podrazumeva se da navedene karakteristike vaze za bilo koji broj skupa Q i uzmimo da su a, b, c brojevi skupa Q, koji su zapravo oblika:p/q):

10    a . 0 = 0 . a = 0  (kao sto vec znamo, mnozenje bilo kog broja nulom daje kao rezultat nulu)

20   1 \cdot a = a \cdot 1 = a   (broj jedan je neutralan pri mnozenju):

 - znaci da bilo koji broj pomnozen jedinicom (i obrnuto) daje isti taj broj:

1 . 2/5 = 2/5;      3/7 . 1 = 3/7;      45/10 . 1 = 45/10;   -12/5 . 1 = -12/5;    1 . (-8/3) = -8/3; itd.

30   a \cdot b = b \cdot a    (vazi komutativni zakon za mnozenje):

 - ovo znaci da je za bilo koja dva racionalna broja ispunjeno da je proizvod prvog i drugog broja jednak proizvodu drugog i prvog:

2/5 . 3/4 = 3/4 . 2/5;   -5/2 . 7/8= 7/8 . (-5/2);   -12/5 . (-3/4) = -3/4 . (-12/5);  itd.

40   a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c      (vazi asocijativni zakon za mnozenje):

-5/4 . (2/3 . 3/2) = -5/4 . 6/6 = -30/24
(-5/4 . 2/3) . 3/2 = -10/12 . 3/2 = -30/24

 - ovo je samo jedan primer, ali koje god brojeve da uzmemo, rezultat ce biti isti, tj. vazice asocijativni zakon.

50   a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c,  (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a    (vazi distributivni zakon mnozenja prema sabiranju):

(-4/5) . (-2/3 + 9/3) = (-4/5) . 7/3 = -28/15
(-4/5) . (-2/3) + (-4/5) . 9/3 = 8/15 + (-36/15) = 8/15 - 36/15 = -28/15



Evo jos nekih pravila koja vaze u skupu Q:

60 Proizvod dva racionalna broja istog znaka je pozitivan broj, a proizvod pozitivnog i negativnog racionalnog broja jeste negativan racionalan broj. U oba slucaja apsolutna vrednost proizvoda jednaka je proizvodu apsolutnih vrednosti tih racinalnih brojeva (cinilaca).

70 Slicno, vazi i:

a . b = (-a) . (-b)  i (-a) . b = a . (-b) =  -(a . b)

80 Proizvod broja -1 i bilo kog racionalnog broja a, jeste broj suprotan broju a:

  (-1) . a = a . (-1) = -a

80  Za sve brojeve skupa Q vazi:

  - (a + b) = - a - b  i  - (a - b) = - a + b



Reciprocan broj:

Reciprocna vrednost racionalnog broja a, a \neq 0, jeste broj koji pomnozen sa brojem a daje proizvod 1.

Prakticno, to znaci da je reciprocna vrednost racionalnog broja a = p/q, p \neq 0, q \neq 0, racionalan broj q/p.
On je istog znaka kao i p/q, a njegova apsolutna vrednost je jednaka reciprocnoj vrednosti razlomka |p/q|.

Broj nula nema reciprocnu vrednost.



Mnozenje i poredak racionalnih brojeva:

1.) Neka je c pozitivan prirodan broj i neka su a i b proizvoljni racionalni brojevi.
Tada iz a < b sledi a . c < b . c.

2.) Neka je c negativan racionalan broj i neka su a i b proizvoljni racionalni brojevi.
Tada iz a < b sledi a . c > b . c.