collapse
Matematika za 6. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Deljenje racionalnih brojeva (deljenje u skupu racionalnih brojeva Q)  (Pročitano 202 puta)

Autor: Matematika | 30.09.2016. u 10:59:51
Deljenje racionalnih brojeva (deljenje u skupu racionalnih brojeva Q).


Podsetimo se deljenja u skupu N i skupu Z:

U skupu prirodnih brojeva N deljenje smo definisali preko mnozenja:

 - na osnovu toga sto je npr. 3.5 = 15, znamo da ce vaziti: 15:3 = 5 i 15:5 = 3

Ako uzmemo bilo koje brojeve skupa celih brojeva Z: a, b, i c, prema prethodnom primeru, vazice sledece:

 - ako je a.b = c, tada je: c:a = b i c:b = a

Ovde moramo voditi racuna o tome da deljenje nulom nije dozvoljeno, pa nam to namece odredjena ogranicenja, npr.:

 - ako je: a = 2, b = 0  sledi : a.b = 2.0 = 0

 - mozemo izvrsiti deljenje nule nekim brojem, ali ne i obrnuto, te nam u ovom slucaju:
    vazi:  c:a = b,  tj  0:2 = 0,
    nece vaziti: c:b = a jer je 0:0 nedozvoljena operacija;

Zakljucujemo:

Ako za cele brojeve a, b i c, pri cemi je a \neq 0, vazi a.b = c, onda je: c:a = b.
Tada kazemo da je broj c deljiv brojem a ili da a deli c i pisemo a|c.
Nulom se ne deli.




Deljenje u skupu racionalnih brojeva Q:

Obzirom na to da je skup Z podskup skupa Q, sva pravila koja vaze u Z vazice i u skupu Q, te iz prethodno recenog mozemo zakljuciti (voditi racuna o tome da je definicija za cele i racionalne brojeve ista, ali su racionalni brojevi a, b i c zapravo oblika: p/q):

Ako za racionalne brojeve a, b i c, pri cemi je a \neq 0, vazi a.b = c, onda je: c:a = b.
Nulom se ne deli.


Primer:

Iz 3/2 . 5/4 = 15/8 sledi: 15/8 : 3/2 = 5/4 i 15/8 : 5/4 = 3/2

Odavde mozemo primetiti i sledece:

15/8 : 3/2 = 5/4, ali vazi i :  15/8 . 2/3 = 5/4
15/8 : 5/4 = 3/2, ali vazi i :  15/8 . 4/5 = 3/2

pa mozemo zakljuciti:

Podeliti racionalan broj p/q racionalnim brojem r/s, r/s \neq 0, isto je kao i kada taj broj pomnozimo reciprocnom vrednoscu broja r/s, tj. vazi:

(p/q) : (r/s) = (p/q) . (s/r),

pri cemu p \in Z;  q, r, s \in Z\{0}.


Z\{0} oznacava skup celih brojeva Z, ali bez nule: Z\{0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, ...}



Kolicnik racionalnih brojeva istog znaka je pozitivan broj, a kolicnik racionalnih brojeva razlicitog znaka je negativan broj.
U oba slucaja apsolutna vrednost kolicnika jednaka je kolicniku apsolutnih vrednosti deljenika i delica.
Za svaki racionalan broj a, a \neq 0, vazi 0:a = 0.



I proizvod i kolicnik (pri cemu je delilac razlicit od broja 0) dva racionalna broja jesu racionalni brojevi:
 - ako a, b \in Q, tada a.b \in Q;
 - ako a, b \in Q i b \neq 0, tada a:b \in Q.