collapse
Matematika za 6. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Jednacine sa sabiranjem i oduzimanjem i mnozenjem i deljenjem u skupu racionalnih brojeva Q  (Pročitano 902 puta)

Autor: Matematika | 30.09.2016. u 10:59:07
Jednacine sa sabiranjem i oduzimanjem i mnozenjem i deljenjem u skupu racionalnih brojeva Q.


Ponovicemo ono sto smo naucili o jednacinama u
skupu N = {1, 2, 3, ...},
skupu N0 = {0, 1, 2, 3, ...}
i skupu Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...},
jer ce nam sve sto vazi u skupu N vaziti i u skupu (uz odgovarajuca prosirenja) Z, a  sve sto vazi u skupu Z vaziti i u skupu (uz odgovarajuca prosirenja) Q, a na kraju cemo obraditi primere vezane za skup racionalnih brojeva Q:

jednacine sa sabiranjem i oduzimanjem u skupovima N i Z, obnavljanje (klikni o otvori):
[close]


Izvedimo neka opsta pravila za jednacine sa sabiranjem i oduzimanjem:

1. - kada imamo nepoznat sabirak x, jednacinu resavamo:

 postavka:  x + b = c
 resenje:  x = c - b

2. - kada imamo nepoznat umanjenik x, jednacinu resavamo:

 postavka:  x - b = c
 resenje:  x = c + b

3. - kada imamo nepoznat umanjilac x, jednacinu resavamo:

 postavka:  b - x = c
 resenje:  x = b - c


Jednacine sa mnozenjem i deljenjem u skupovima N i Z, obnavljanje:
[close]


Izvedimo neka opsta pravila za jednacine sa mnozenjem i deljenjem:

1. - kada imamo nepoznat cinilac x, jednacinu resavamo:

 postavka:  a . x = c,   a \neq 0
 resenje:  x = c : a,   a \neq 0

2. - kada imamo nepoznat deljenik x, jednacinu resavamo:

 postavka:  x : a = c,   a \neq
 resenje:  x = c . a,   a \neq 0

3. - kada imamo nepoznat delilac x, jednacinu resavamo:

 postavka:  a : x = c,   a \neq 0, c \neq 0
 resenje:  x = a : c,   a \neq 0, c \neq 0



Jednacine sa sabiranjem i oduzimanjem u skupu celih brojeva Z i skupu racionalnih brojeva Q (pravila koja vaze za oba skupa i Z i Q):

Pravilo o dodavanju:
 - neka a, b, c pripadaju skupu Z (odnosno, skupu Q);
 - ako je a = b , tada je a + c = b + c

Pravilo o oduzimanju:
- neka a, b, c pripadaju skupu Z (odnosno, skupu Q);
 - ako je a = b , tada je a - c = b - c

Pravilo o dodavanju vazi i u skupu N, dok pravilo o oduzimanju vazi sa ogranjcenjem, jer u skupu N nema negativnih brojeva.

U skupu Z i skupu Q ovih ogranicenja nema.



Ako isti ceo (odnosno racionalan)  broj dodamo obema stranama jednacine (u skladu sa pravilom o dodavanju), ili od njih oduzmemo isti ceo (odnosno racionalan) broj (u skladu sa pravilom o oduzimanju), dobijamo novu jednacinu koja ima ista resenja u skupu Z (odnosno, skupu Q) kao polazna jednacina.
 
Od kakve nam je ovo koristi?

Pogledajmo primere za Z i za Q:
 
resimo jednacinu u skupu Z:   

x + 9 = 3

 - oduzmimo od obe strane 9:

x + 9 = 3    /-9
x + 9 - 9 = 3 - 9
x  = -6

 - provera: -6 + 9 = 3

ili, slican primer u skupu Q:

x + 9/5 = 3/5

 - oduzmimo od obe strane 9/5:

x + 9/5 = 3/5     /-(9/5)
x + 9/5 - 9/5 = 3/5 - 9/5
x  = -6/5

 - provera: -6/5 + 9/5 = 3/5

Znaci princip resavanja je da se "uklone" svi brojevi uz x, tako da x ostaje sam sa jedne strane jednakosti, a rezultat sa druge strane:

 x + a = b,  sledi:  x + a - a = b - a,   sledi:   x = b - a

Na isto nacin, vazi i sledece:

x - a = b  sledi   x - a + a = b + a   sledi   x = b + a



Napomena: kada naidjemo na zbir dva suprotna broja, npr. 2 i -2 (ili npr. 2/3 i -2/3), kazemo da se ti brojevi potiru; ne kazemo da se skracuju, jer je skracivanje vezano za mnozenje i deljenje.



Jednacine sa mnozenjem i deljenjem u skupu racionalnih brojeva Q:

Pravilo o mnozenju:

Neka a, b, c \in Q i neka je c \neq 0.
Ako je a = b, tada je a . c = b . c

Pravilo o deljenju:

Neka a, b, c \in Q i neka je c \neq 0.
Ako je a = b, tada je a : c = b : c.

Pravilo o mnozenj vazi i u skupu N i u skupu Z, dok pravilo o deljenju vazi bez ogranicenja samo u skupu Q, jer kolicnik dva prirodna broja nije uvek prirodan broj, a kolicnik dva cela broja nije uvek ceo broj.



Ako istim racionalnim brojem razlicitim od nule pomnozimo obe strane jednacine (pravilo o mnozenju) ili obe strane podelimo istim racionalnim brojem razlicitim od nule (pravilo o deljenju), dobijamo novu jednacinu koja ima ista resenja kao i polazna jednacina.

Primer:

(4/5) . x = 3/5

 - pomnozicemo (u skladu sa prethodnim pravilom) i levu i desnu stranu jednakosti sa reciprocnom vrednoscu razlomka 4/5, kako bismo postigli da nam nepoznata vrednost x ostane sa jedne strane jednakosti, a sve ostalo (rezultat) sa druge strane jednakosti:

(4/5) . x = 3/5    /.(5/4)

(4/5) . x . (5/4) = (3/5) . (5/4)

x = (3 . 5)/(5 . 4)

x = 15/20   /:5  (skratimo sa 5)

x = 3/4

Znaci, cilj nam je da nepoznatu vrednost x , putem razlicitih racunskih operacija, ostavimo sa jedne strane jednakosti, a sve ostalo da prebacimo sa druge strane jednakosti, tako da sa te strane dobijemo vrednost nepoznate x (rezultat).



Isti princip primenjujemo i kod jednacina gde imamo mesano i sabiranje i oduzimanje i mnozenje i deljenje, npr.:

postavka:  ax + b = c, a \neq 0
resenje:           ax = c - b, a \neq 0
                          x = (c - b)/a, a \neq 0