collapse
Matematika za 8. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Poliedri, poliedarska povrs, Ojlerova formula, povrsina poliedra, zapremina poliedra, pravilni poliedri, Platonova tela, mreza poliedra  (Pročitano 818 puta)

Autor: Matematika | 17.10.2016. u 08:53:58
Poliedri, poliedarska povrs, Ojlerova formula, povrsina poliedra, zapremina poliedra, pravilni poliedri, Platonova tela, mreza poliedra.


Poliedarska povrs je zatvorena povrs koja je sastavljena od konacno mnogo mnogouglova, pri cemu ti mnogouglovi zadovoljavaju sledece uslove:

 - svaka stranica svakog mnogougla zajednicka je za tacno dva mnogougla - to su susedni mnogouglovi;

 - nikoja dva mnogougla nemaju zajednickih unutrasnjih tacaka;

 - svaka dva mnogougla mogu se povezati nizom mnogouglova, tako da svaki od njih ima zajednicku stranicu sa sledecim;

 - svako je teme svakog od mnogouglova vrh tacno jednog roglja.

Poliedar je unija tacaka poliedarske povrsi i dela prostora ogranicenog tom povrsi:



Mnogouglovi koji obrazuju strane poliedarske povrsi zovu se strane polidra, temena tih mnogouglova su temena poliedra, stranice mnogouglova su ivice poliedra.
Poliedarska povrs koja ogranicava poliedar je njegova granica.
Unutrasnji skup tacaka poliedra koji ne pripada njegovoj poliedarskoj povrsi je oblast poliedra.

nisu poliedri:





Ojlerova formula (teorema):

Za svaki konveksan poliedar vazi da je:

                     T + S - I = 2

gde je T - broj temena poliedra, S - broj strana poliedra, I - broj ivica poliedra.



Povrsina poliedra se izracunava tako sto se saberu povrsine svih mnogouglova koji sacinjavaju taj poliedar.



Zapremina poliedra je velicina dela prostora koji zauzima unutrasnjost poliedra.

Za jedinicu mere zapremine uzimamo kocku.
Standardna jedinica mere zapremine jeste kubni metar - kocka ivice 1m.

Pored kocke od jednog metra koristimo i manje i vece merne jedinice - 1mm, 1cm, ..., 1km.

Podudarni poliedri imaju jednake zapremine.

Npr.

zapremina same kocke se izracunava kao V = a3, gde je a duzina ivice kocke;

zapremina pravougaonika se izracunava kao V = a.b.c, gde su a, b i c duzine ivica pravougaonika;

itd.



Pravilni poliedri (Platonova tela) su konveksni poliedri cije su sve strane pravilni i medjusobno podudarni mnogouglovi i kod kojih iz svakog temena polazi isti broj ivica.

Postoji samo pet poliedara koji zadovoljavaju date uslove:









Broj strana, ivica i temena (tim redom) ovih tela je:

tetraedar (4,6,4), kocka (6,12,8), oktaedar (8,12,6), dodekaedar (12,30,20), ikosaedar (20,30,12).



Ispod svih pet Platonovih tela su prikazane razvijene mreze mnogouglova koji sacinjavaju ove pravilne poliedre.

Posmatrajuci njihove mreze mnogouglova, nije nam problem da izracunamo povrsine ovih tela:

tetraedar:

3 puta povrsina jednakostranicnog trougla: 3\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}

kocka:

6 puta povrsina kvadrata:  6\cdot a^{2}

itd.