collapse
Matematika za 8. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Piramida, povrsina piramide, zapremina piramide  (Pročitano 1220 puta)

Autor: Matematika | 17.10.2016. u 08:52:38
Piramida, povrsina piramide, zapremina piramide.


Ako u nekoj ravni imamo mnogougao i tacku S van te ravni, kada povucemo linije od tacke S do temena mnogougla, od tih linija i stranica mnogougla dobijamo niz trouglova.
Mnogougao u osnovi i ti trouglovi zajedno sacinjavaju jednu piramidu:



Mnogougao ABCD u osnovi piramide je osnova ili baza piramide.

Svaki trougao koji obrazuje stranica mnogougla sa tackom S je bocna strana piramide.

Tacka S naziva se vrh piramide.

AB, BC, CD, DA su osnovne ivice piramide,
AS, BS, CS, DS su bocne ivice piramide,
ABS je jedna od bocnih strana piramide.

H je visina piramide, a h je visina bocne strane piramide.



Piramida je pravilna ako je njena osnova pravilan mnogougao i ako je ortogonalna projekcija vrha na ravan osnove centar tog mnogougla.
Bocne strane pravilne piramide su podudarni jednakokraki trouglovi.



Visina bocne strane pravilne piramide naziva se apotema.
Podnozje apoteme na osnovnu ivicu poklapa se sa podnozjem normale iz centra osnove na tu ivicu.

Ukoliko su nam poznate osnovna ivica i visina pravilne piramide, primenom Pitagorine teoreme, mozemo izracunati kolika nam je apotema,
jer je apotema hipotenuza pravouglog trougla cija je jedna kateta visina piramide, a druga poluprecnik upisane kruznice osnove.
Na slici poluprecnik upisane kruznice je duz MN, duzine a/2, gde je a duzina osnovne ivice piramide, a visina piramide je duz EN.

Ako se u osnovu piramide moze upisati krug, a podnozje vrha piramide se poklapa sa centrom tog kruga, tada su visine svih bocnih strana te piramide jednake.




Povrsina piramide:

Ako sa B oznacimo povrsinu osnove, a sa M povrsinu omotaca piramide, tada se povrsina te piramide izracunava po formuli:

                         P = B + M

Na Slici je data mreza pravilne cetvorostrane piramide (u osnovi pravilne piramide moze se naci i jednakostranican trougao, jednakostranican petougao, jednakostranican sestougao, itd.), gde je naranzastom bojom obojena baza, dok su elementi omotaca obojeni zutom bojom.




Povrsina pravilne trostrane i sestostrane piramide:





Zapremina piramide:

Ako je B povrsina osnove piramide, a H njena visina, tada je zapremina te piramide jednaka jednoj trecini proizvoda B.H:

                                     V = \frac{1}{3} BH



Zapremina pravilne trostrane, cetvorostrane i sestostrane piramide: