collapse
Matematika za 8. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Linearne jednacine sa jednom nepoznatom (2): linearna jednacina i ekvivalentnost jednacina, pravilo zamene, pravilo o dodavanju, pravilo o mnozenju, resavanje linearnih jednacina sa jednom nepoznatom  (Pročitano 385 puta)

Autor: Matematika | 17.10.2016. u 08:48:54
Linearne jednacine sa jednom nepoznatom (2): linearna jednacina i ekvivalentnost jednacina, pravilo zamene, pravilo o dodavanju, pravilo o mnozenju, resavanje linearnih jednacina sa jednom nepoznatom.


Dva algebarska izraza od kojih bar jedan sadrzi promenljivu ili vise njih, spojena znakom jednakosti, cine jednacinu:

                     12x - 7 = 5

12x - 7 je jedan algebarski izraz (leva stran jednacine);
5 je takodje algebarski izraz (desna strana jednacine);
ova su dva izraza spojena znakom jednakosti, a u cilju izracunavanja vrednosti promenljive x.



Resenje jednacine je svaki broj koji dodeljen nepoznatoj tu jednacinu prevodi u istinitu brojevnu vrednost.



Linearna jednacina i ekvivalentnost jednacina:

Dve jednacine su ekvivalentne ako je svako resenje jedne od njih istovremeno i resenje druge, ili ako obe jednacine nemaju resenja.

Jednacina sa jednom nepoznatom x je linearna ako je ekvivalentna jednacini oblika ax + b = 0, gde su a i b realni brojevi.



Od date jednacine njoj ekvivalentnu dobijamo primenom cetiri racunske operacije (sabiranje, oduzimanje, mnozenje i deljenje) i pravilom zamene:

 - kod pravila zamene mi zapravo vrsimo odredjeno izracunavanje, a zatim postojeci izraz zamenimo tim novim (onim sto smo izracunali):

primeri primene pravila zamene:

 - kod resavanja jednacine x = 2 + 3, izracunamo da je 2 + 3 = 5, pa 2 + 3 u izrazu zamenimo sa 5 i dobijamo resenje: x = 5;

 - kod jednacine 3(4x - 1) + 2 = 23, prvo izracunamo da je 3(4x - 1) = 12x - 3, a zatim to zamenimo u pocetnu jednacinu i dobijemo 12x - 3 + 2 = 23, zatim izracunamo da je -3+2 = -1, pa to zamenimo u jednacinu i dobijemo 12x - 1 = 23, zatim dobijamo da je 12x = 23 + 1, pa 23 + 1 zamenimo sa 24 i dobijemo 12x = 24, te je  konacno resenje x = 24/2 = 2 (i ovde smo zamenili 24/2 sa 2).



Pravilo o dodavanju (istog izraza obema stranama jednacine):

Dodavanjem istog izraza obema stranama jednacine (ili oduzimanjem istog izraza od obe strane jednacine) dobijamo jednacinu koja je ekvivalentna polaznoj.

Ovo znaci da za realne brojeve a, b i c vazi:

 - ako je a = b , tada je i a + c = b + c;

 - ako je a = b , tada je i a - c = b - c.



Pravilo o mnozenju:

Mnozenjem (deljenjem) obe strane jednacine istim izrazom (razlicitim od nule), dobijamo jednacinu ekvivalentnu polaznoj.

Ovo znaci da za realne brojeve a, b i c (c je razlicito od nule) vazi:

 - ako je a = b , tada je i a.c = b.c;

 - ako je a = b , tada je i a:c = b:c.

Prakticno, pravila o dodavanju i mnozenju primenjujemo na sledeci nacin:

 - ako imamo jednacinu  2x - 16 = 0 obema stranama ove jednacine mozemo dodati broj 16 (jer zelimo da nam nepoznata x ostane sa jedne strane jednakosti, a svi ostali brojevi sa druge) i dobijamo 2x - 16 + 16 = 0 + 16 (primenili smo pravilo o dodavanju),
odakle sledi (primenom pravila zamene) da je 2x = 16;
zatim primenimo pravilo o mnozenju i dobijemo 2x:2 = 16:2, odakle (primenom pravila zamene), dobijamo: x = 8.



Pravilo o dodavanju se ne zove pravilo o dodavanju i oduzimanju, jer se oduzimanje svodi na sabiranje pozitivnog i negativnog broja;

Slicno tome, pravilo o mnozenju se ne zove pravilo o mnozenju i deljenju, jer se deljenje nekim brojem svodi na mnozenje njegovom reciprocnom vrednoscu: a:b = a . (1/b).

Takodje, kod pravila o dodavanju u praksi se cesto koristi izraz 'prebaciti broj' na drugu stranu jednakosti (pri cemu se 'znak' broja menja), sto mi zapravo ne radimo, ali to tako izgleda:

kada i levoj i desnoj strani jednacine 2x - 16 = 0 dodamo 16, delovace kao da smo 16 prebacili sa leve na desnu stranu jednakosti (pri cemu je broj 16 'promenio znak' iz minus u plus): 2x = 16, ali smo mi zapravo uradili sledece: 2x - 16 + 16 = 0 + 16, i odatle dobili  2x = 16; znaci, nije bilo nikakvog 'prebacivanja'.



Resavanje linearnih jednacina sa jednom nepoznatom:

Jednacinu smatramo resenom kada smo odredili sve brojeve koji su njena resenja ili utvrdili da jednacina nema resenja.

Linearnu jednacinu sa jednom nepoznatom resavamo tako sto primenjujuci pravilo zamene, pravilo dodavanja i pravilo mnozenja, konacan broj puta, dolazimo do njoj ekvivalentne jednacine iz koje direktno citamo resenje (resenja).

Linearna jednacina ax + b = 0, kada je a razlicito od nule, ima jedinstveno resenje, broj: -(b/a).

Jednacina ekvivalentna jednacini 0.x = b, gde je b razlicito od nule, nema resenja;
kazemo i da je svaka linearna jednacina koja nema resenja ekvivalentna jednacini 0.x = 1.

Svaki realan broj je resenje jednacine koja je ekvivalentna jednacini 0.x = 0.
Svaka linearna jednacina koja je identitet ekvivalentna je jednacini 0.x = 0.