collapse
Matematika za 8. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Linearne nejednacine, ekvivalentnost nejednacina, pravilo o zameni, pravilo o dodavanju, pravilo o mnozenju, resavanje linearnih nejednacina sa jednom nepoznatom  (Pročitano 431 puta)

Autor: Matematika | 17.10.2016. u 08:43:21
Linearne nejednacine, ekvivalentnost nejednacina, pravilo o zameni, pravilo o dodavanju, pravilo o mnozenju, resavanje linearnih nejednacina sa jednom nepoznatom.


Ponovimo ono sto smo naucili o nejednacinama u prethodnim razredima (klikni i otvori):
[close]



U prethodnim razredima smo nejednacine resavali pomocu sledecih pravila (klikni i otvori):
[close]

Predjimo konacno na gradivo osmog razreda:

Dva algebarska izraza koji sadrze promenljivu ili promenljive, spojena znakom nejednakosti, cine nejednacinu.

Resenje nejednacine je svaki broj koji dodeljen nepoznatoj tu nejednacinu prevodi u istinitu brojevnu nejednakost.

Resenja nejednacina na brojevnoj osi prikazujemo kao na sledecoj slici:



 - kada se radi o strogoj nejednakosti (prve dve slike), sama koordinata (broj) a koji ne pripada skupu resenja ima prazan kruzic iznad sebe, dok tamo gde a pripada skupu resenja (druge dve slike) crtamo crni kruzic.

 - znaci, prazan kruzic znaci da granicni broj ne pripada skupu resenja, a crni (pun) kruzic znaci da granicni broj pripada skupu resenja.

Kazemo i da skup resenja nejednacine iskazujemo koristeci intervale realnih brojeva:

\infty je znak za beskonacno, a  -\infty za minus beskonacno, pa imamo sledece:

 - interval (-\infty, a) je skup realnih brojeva x sa osobinom da je x < a; (sl.1)

 - interval (-\infty, a] je skup realnih brojeva x sa osobinom da je x \leqslant a; (sl.3)

 - interval (a, +\infty) je skup realnih brojeva x sa osobinom da je x > a; (sl.2)

 - interval [a, +\infty) je skup realnih brojeva x sa osobinom da je x \geqslant a. (sl.4)



Intervale koristimo i kada se skup resenja nalazi izmedju dva broja:



 - interval (a,b) gde je a<b, je skup realnih brojeva x sa osobinom da je a < x < b; (sl.1)

 - interval [a,b) gde je a<b, je skup realnih brojeva x sa osobinom da je a \leqslant x< b; (sl.2)

 - interval (a,b] gde je a<b, je skup realnih brojeva x sa osobinom da je a < x \leqslant b; (sl.3)

 - interval [a,b] gde je a<b, je skup realnih brojeva x sa osobinom da je a \leqslant x \leqslant b. (sl.4)



Ekvivalentnost nejednacina:

Dve nejednacine su ekvivalentne ako imaju isti skup resenja, odnosno, ako je svako resenje jedne od njih istovremeno i resenje druge, ili ako obe nejednacine nemaju resenja.

Nejednacina sa jednom nepoznatom x je linearna ako je ekvivalentna nekoj od nejednacina oblika: ax + b < 0, ax + b \leqslant 0, ax + b > 0, ax + b \geqslant 0, gde su a i b realni brojevi.



Kao i kod jednacina, ovde ce vaziti pravilo o zameni, pravilo o dodavanju i pravilo o mnozenju:

Pravilo o zameni:

 - kod pravila zamene mi zapravo vrsimo odredjeno izracunavanje, a zatim postojeci izraz zamenimo tim novim (onim sto smo izracunali):

primer:


Pravilo o dodavanju:

Dodavanjem istog izraza obema stranama nejednacine (oduzimanjem istog izraza obema stranama nejednacine) dobijamo novu nejednacinu koja je ekvivalentna polaznoj.

Ovo znaci da za realne brojeve a, b i c vazi:

 - ako je a > b , tada je i a + c > b + c;

 - ako je a > b , tada je i a - c > b - c;

 - ako je a < b , tada je i a + c < b + c;

 - ako je a < b , tada je i a - c < b - c;


Pravilo o mnozenju:

Mnozenjem (deljenjem) istim pozitivnim brojem obe strane nejednacine dobijamo novu nejednacinu istog tipa koja je ekvivalentna polaznoj.

Mnozenjem (deljenjem) istim negativnim brojem obe strane nejednacine dobijamo novu nejednacinu sa promenjenim znakom nejednakosti koja je ekvivalentna polaznoj; to znaci da znak < menjamo u > i obrnuto, kao i znak  \leqslant u \geqslant i obrnuto.

Ovo znaci da za realne brojeve a, b i c vazi:

 - za pozitivan broj c i bilo koje a i b:
     
          iz a < b sledi a.c < b.c
   
 - za negativan broj c i bilo koje a i b:

         iz a < b sledi a.c > b.c.



Resavanje linearnih nejednacina sa jednom nepoznatom:

Skup resenja linearne nejednacine ax + b > 0, kada je a > 0, predstavlja interval (-(b/a), +\infty);

Skup resenja linearne nejednacine ax + b > 0, kada je a < 0, predstavlja interval (-\infty, -(b/a));

Skup resenja nejednacine ekvivalentne nejednacini 0 . x > b, gde je b < 0, je skup realnih brojeva;

Nejednacine ekvivalentne nejednacini 0 . x > b, gde je b > 0, nemaju resenja.