collapse
Matematika za 8. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Linearna funkcija y = kx + n, eksplicitni i implicitni oblik funkcije, grafik linearne funkcije, nula funkcije  (Pročitano 1921 puta)

Autor: Matematika | 17.10.2016. u 08:41:59
Linearna funkcija y = kx + n, eksplicitni i implicitni oblik funkcije, grafik linearne funkcije, nula funkcije.


Linearna funkcija y = kx + n:

U formuli y = kx + n:

 - x nam je nezavisno promenljiva (ne zavisi od drugih velicina, tj. mozemo je slobodno birati, izuzev ako zahtevima zadatka nije zadato drugacije),

 - y je zavisno promenljiva (vrednost ove promenljive zavisi od vrednosti koju smo izabrali za x, te cesto umesto y pisemo i f(x), sto citamo 'f od x', a sto znaci: funkcija od x, odnosno nesto sto je u funkciji od x, zavisi od x),

 - k je koeficijent i on je konstantne vrednosti, kao i n.



Pridruzivanje kojim realnom broju x pridruzujemo realan broj y, takav da je y = kx + n, gde su k i n neki fiksirani realni brojevi, naziva se linearna funkcija. Specijalno, ako je k = 0, tada je rec o konstantnoj funkciji.



Kada je funkcija zadata u obliku:
y = kx + n, kazemo da je zadata u eksplicitnom obliku.

Kada je funkcija zadata u obliku:
ax + by + c = 0, tada kazemo da je zadata u implicitnom obliku.
(a, b i c su realni brojevi i b je ralicito od nule)

Primenom pravila o zameni, dodavanju i mnozenju (koja su koriscena kod resavanja linearnih jednacina), mozemo prevesti ova dva oblika jedan u drugi (ovde necemo dati detaljan prikaz, vec konacne vrednosti):

 - iz ax + by + c = 0 dobija se:   y = - (c + ax)/b

 - iz y = kx + n dobija se:  kx - y + n = 0



Grafik linearne funkcije:

Linearnu funkciju predstavljamo u pravouglom koordinatnom sistemu, koji se sastoji od dve brojevne ose (x i y) koje su normalne jedna na drugu; na x-osu se nanose vrednosti za x, a na y-osu vrednosti za y:


Horizontalna osa je x-osa, vertikalna osa je y-osa, u preseku x-ose i y-ose nalazi se koordinatni pocetak koji se obicno oznacava sa O.

Ceo koordinatni sistem tada oznacavamo sa xOy.

Koordinatni sistem nam omogucava da u nekoj ravni odredimo tacnu poziciju svake tacke i to pomocu njenih koordinata, sto zapisujemo kao uredjen par realnih brojeva (a,b), gde je a x-koordinata neke tacke, a b y-koordinata te tacke.
Broj a se jos naziva i prva koordinata ili apscisa, a broj b druga koordinata ili ordinata (uredjenog para (a,b)).

Ako polozaj tacke A u koordinatnom sistemu odredjuje uredjen par (a,b), tada to zapisujemo: A(a,b):





Grafik zavisnosti y = kx:

Grafik zavisnosti y = kx (x pripada skupu realnih brojeva) je skup svih tacaka (x,y) cije su koordinate povezane jednakoscu: y = kx:


Grafik ove funkcije je prava u koordinatnom sistemu, koja prolazi kroz koordinatni pocetak.

Ako je k > 0, tada grafik pripada I i III kvadrantu;

Ako je k < 0, tada grafik pripada II i IV kvadrantu.

Na slici su prikazani primeri funkcija y = 2x i y = -2x.

Ukoliko nam se u postavci nadje funkcija tipa:

-y = 5x, gde imamo minus ispred y-na, tada treba da se oslobodimo minusa i da vidimo koji ceonda biti predznak koeficijenta k; znaci, pomnozimo i levu i desnu stranu jednakosti sa -1 i dobijamo funkciju u odgovarajucem obliku: y = -5x.



Grafik linearne funkcije y = kx + n:

Grafik zavisnosti y = kx + n (x pripada skupu realnih brojeva) je skup svih tacaka (x,y) cije su koordinate povezane jednakoscu: y = kx + n:


Uzeli smo za primer funkcije y = 2x i y = 2x + 3

Sta odmah uocavamo sa grafika na slici?

Vidimo da su grafici ovih funkcija dve paralelne prave, od kojih prva prolazi kroz koordinatni pocetak, a druga je pomerena u odnosu na koordinatni pocetak u levu stranu i nalazi se iznad grafika funkcije y = 2x.

Ako uzmemo neke proizvoljne brojeve za x, npr. -1, 0 i 1 videcemo da imamo sledece:

za y = kx :  y1 = -2, y2 = 0, y3 = 2

za y = kx + n: y1 = -2 + 3, y2 = 0 + 3, y3 = 2 + 3

Najlakse nam je da uocimo da je za x = 0,
u prvom slucaju y = 0, a u drugom slucaju y = 3, sto znaci da nam je grafik druge funkcije pomeren za 3 podeoka navise po y-osi, u odnosu na prvu funkciju.

Odavde mozemo zakljuciti da nam koeficijenat k daje nagib linije grafika prema x-osi, te ga zato nazivamo jos i koeficijent pravca, a n nam pokazuje za koliko je grafik pomeren gore ili dole po y-osi u odnosu na kooordinatni pocetak.



Iz svega do sada recenog za grafik linearne funkcije y = kx + n, x \in R mozemo zakljuciti sledece:

Grafik linearne funkcije je prava.

Grafici linearnih funkcija koji imaju jednake koeficijente pravca su medjusobno paralelne prave.
Vazi i obrnuto, ako su grafici linearnih funkcija paralelni, tada te funkcije imaju jednake koeficijente pravca.

Grafik linearne funkcije sece y-osu u tacki (0,n).



Nula funkcije y = kx + n:

Nula neke linearne funkcije je vrednost nezavisno promenljive x, za koju je y = 0.



Nulu linearne funkcije y = kx + n nalazimo tako sto tu funkciju izjednacimo sa nulom, tj. pisemo:

        y= kx + n = 0, odnosno, kx + n = 0.

Kada je k razlicito od nule, rezultat se dobija po formuli:  x = -n/k;

Kada je k = 0, funkcija nam se pretvara u y = n, n \neq 0, sto je konstantna funkcija, odnosno prava je paralelna sa x-osom i nigde ne sece y-osu, te ovakva funkcija nema nule.

Ako je k = 0 i n = 0, tada nam se funkcija y = kx + n pretvara u y = 0, sto je sama x-osa, tj. grafik funkcije y = 0 je x-osa.



Crtanje i citanje grafika linearne funkcije i jos neke osobine grafika linearne funkcije:

Za crtanje grafika linearne funkcije oblika y = kx + n, gde x pripada skupu realnih brojeva, dovoljno je odrediti dve tacke koje pripadaju tom grafiku. To obicno radimo tako sto vrednost x promenljive uzmemo proizvoljno, a onda izracunamo vrednost y promenljive. Drugi nacin je da uzmemo prvo da nam je x = 0, a zatim izracunamo y, a onda uzmemo da nam je y = 0, a zatim izracunamo x. Kod ovog drugog nacina dobijamo tacke preseka grafika funkcije sa osama koordinatnog sistema:

Ako uzmemo npr. funkciju y = x + 3,
 za y = 0 imacemo x + 3 = 0, tj. x = -3, te dobijamo prvu tacku: A(-3,0)
 za x = 0 imacemo 0 + 3 = y tj. y = 3, te imamo i drugu tacku: B(0,3)

Sada pronadjemo ove dve tacke u koordinatnom sistemu i korz njih nacrtamo pravu koja predstavlja funkciju y = x + 3.



Linearna funkcija je rastuca ako povecanje vrednosti nezavisne promenjive (x), uzrokuje povecanje vrednosti zavisne promenljive (y).

Linearna funkcija je opadajuca ako povecanje vrednosti nezavisno promenljive (x) uzrokuje smanjenje vrednosti zavisno promenljive (y).

Ako je koeficijent pravca linearne funkcije pozitivan (k > 0), ta funkcija je rastuca, a njen grafik zaklapa ostar ugao sa pozitivnim delom x-ose.

Ako je koeficijent pravca linearne funkcije negativan (k < 0), ta funkcija je opadajuca, a njen grafik zaklapa tup ugao sa pozitivnim delom x-ose.

Sledstveno, ako je linearna funkcija rastuca, tada je njen koeficijent pravca k pozitivan, a ukoliko je opadajuca, tada joj je koeficijent pravca negativan.

Konstantna funkcija nije ni rastuca ni opadajuca, a njen grafik je paralelan x-osi.
(primeri konstantnih funkcija: y = 3,  y = -9, itd.)

Ako je koeficijent pravca linearne funkcije pozitivan (k > 0), ta funkcija je pozitivna za vrednosti vece od nule funkcije, a negativna za vrednosti manje od nule funkcije.

Ako je koeficijent pravca linearne funkcije negativan (k < 0), ta funkcija je pozitivna za vrednosti manje od nule funkcije, a negativna za vrednosti vece od nule funkcije.