collapse
Matematika za 8. razred (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Ekvivalentnost sistema linearnih jednacina sa dve nepoznate, resavanje sistema metodom zamene, resavanje sistema metodom suprotnih koeficijenata  (Pročitano 201 puta)

Autor: Matematika | 17.10.2016. u 08:39:21
Ekvivalentnost sistema linearnih jednacina sa dve nepoznate, resavanje sistema metodom zamene, resavanje sistema metodom suprotnih koeficijenata.


Dva sistema jednacina su ekvivalentna ako je svako resenje jednog od njih ujedno resenje i drugog, ili ako oba sistema nemaju resenje.

Ako jednacinu sistema zamenimo njoj ekvivalentnom, dobijamo novi sistem ekvivalentan polaznom.

Ako u jednacini datog sistema zamenimo jednu od nepoznatih izrazom koji je jednak toj nepoznatoj na osnovu druge jednacine, dobijamo novi sistem ekvivalentan polaznom.

Ako jednu jednacinu datog sistema zamenimo jednacinom koja je zbir ili razlika jednacina datog sistema, dobijamo novi sistem ekvivalentan polaznom.



Metod zamene:

Resiti sistem jednacina znaci da treba da utvrdimo resenja (resenje) tog sistema ili da utvrdimo da sistem nema resenja. Pri resavanju sistema koristimo prethodna pravila za ekvivalentne sisteme.

Metod zamene se sastoji u tome da se jedna nepoznata sistema izrazi preko druge nepoznate tog sistema u jednoj jednacini, pa se izvrsi zamena u drugu jednacinu. Pogledajmo to na primeru:

Resiti sistem:

  x - 2y = 1
3x - 5y = 5

vidimo da u prvoj jednacini mozemo lako izraziti x preko y:

x = 1 + 2y

zatim ovu jednacinu zamenimo u drugu (pri cemu prvu prepisujemo):

x = 1 + 2y
3(1 + 2y) - 5y = 5

x = 1 + 2y
3 + 6y - 5y = 5

x = 1 + 2y
3 + y = 5

x = 1 + 2y
y = 2

x = 5
y = 2.

(ispod svake dve jednacine je uobicajeno da se podvuce horizontalna crta, sto mi ovde ne mozemo zbog tehnickih mogucnosti, ali to nema nikakvog uticaja na samo izracunavanje; ova crta sluzi da se jedna faza obracuna odvoji od sledece faze)

Inace, potpuno je proizvoljno da li cemo izraziti x preko y ili obrnuto, i da li cemo za to iskoristiti prvu jednacinu pa zamenjivati u drugu ili obrnuto. Radimo onako kako procenimo da cemo brze i lakse doci do konacnog rezultata.

Sistem ekvivalentan sistemu cija bar jedna jednacina nema resenja, takodje nema resenja.

Sistem ima beskonacno mnogo resenja ako je ekvivalentan sistemu cija je jedna jednacina identitet, a druga ima resenja.



Metod suprotnih koeficijenata:

Ovde koristimo pravilo da ako jednu od jednacina sistema zamenimo zbirom ili razlikom jednacina tog sistema, dobijamo sistem ekvivalentan polaznom.

Konkretno, cilj nam je da se ispred jedne od promenljivih nadje isti koeficijent, ali suprotnog znaka (npr. da u prvoj jednacini imamo 3x a u drugoj -3x), a zatim sabiranjem ili oduzimanjem prve i druge jednacine postignemo da se ta nepoznata 'izgubi', pogledajmo primer:

Resiti po x i y sistem:

  x - 2y = 1
3x - 5y = 5

pomnozicemo prvu jednacinu sa -3 kako bi ispred x u obe jednacine dobili isti koeficijent, ali suprotnog znaka:

  x - 2y = 1 / (-3)
3x - 5y = 5

-3x + 6y = -3
  3x - 5y = 5

prvu jednacinu prepisujemo u njenom prvobitnom obliku, a drugu zamenjujemo zbirom prve i druge jednacine:

   x - 2y = 1
(-3x + 6y) + (3x - 5y) = 5 - 3

x - 2y = 1
(3-3)x + (-5+6)y = 5 - 3

x - 2y = 1
       y = 2

zamenjujemo y u prvu jednacinu i dobijamo:

      x = 5
      y = 2

(ispod svake dve jednacine je uobicajeno da se podvuce horizontalna crta, sto mi ovde ne mozemo zbog tehnickih mogucnosti, ali to nema nikakvog uticaja na samo izracunavanje; ova crta sluzi da se jedna faza obracuna odvoji od sledece faze)